علم الأرتماطيقي
هوعلم يبحث فيه عن خواص العدد من حيث التأليف إما على التوالي أو بالتضعيف مثل أن الأعداد إذا توالت متفاضلة بعدد واحد فإن جمع الطرفين منها مساو لجمع كل عددين بعدهما من الطرفين بعد واحد.
ومثل ضعف الواسطتان كانت عدة تلك الأعداد فردا مثل الإفراد على تواليها والأزواج على تواليها.
ومثل أن الأعداد إذا توالت على نسبة واحدة بكون أولها نصف ثانيها وثانيها نصف ثالثها الخ أو بكون أولها ثلث ثانيها وثانيها ثلث ثالثها الخ فإن ضرب الطرفين أحدهما في الآخر كضرب كل عددين بعدهما من الطرفين بعد واحد أحدهما في الآخر.
ومثل مربع الواسطتان كانت العدة فردا وذلك مثل أعداد زوج المتوالية من اثنين فأربعة فثمانية فستة عشرة.
ومثل ما يحدث من الخواص العددية في وضع المثلثات العددية والمربعات والمخمسات والمسدسات إذا وضعت متتالية في سطروها بأن يجمع من الواحد إلى العدد الأخير فتكون مثلثة وتتوالى المثلثات هكذا في سطر تحت الأضلاع ثم تزيد على كل مثلث ثلث الضلع الذي قبله فتكون مربعة وتزيد على كل مربع مثلث الضلع الذي قبله فتكون مخمسة وهلم جرا وتتوالى الأشكال على توالي الأضلاع ويحدث جدول ذو طول وعرض ففي عرضه الأعداد على تواليها ثم المثلثات على تواليها ثم المربعات ثم المخمسات الخ.
وفي طوله كل عدد وأشكاله بالغا ما بلغ وتحدث في جميعها وقسمة بعضها على بعض طولا وعرضا خواص غريبة استقريت منها وتقررت في دواوينهم مسائلها وكذلك ما يحدث للزوج والفرد وزوج الزوج والفرد فإن لكل منها خواص مختصة به تضمنها هذا الفن وليست في غيره،
وهذا الفن أول أجزاء التعاليم وأثبتها ويدخل في براهين الحساب.
وللحكماء المتقدمين والمتأخرين فيه تآليف وأكثرهم يدرجونه في التعاليم ولا يفردونه بالتأليف فعل ذلك ابن سينا في كتابه الشفاء والنجاة وغيره من المتقدمين.
وأما المتأخرون فهو عندهم مهجور إذ هو غير متداول منفعته في البراهين لا في الحساب فهجروه لذلك بعد أن استخلصوا زبدته في البراهين الحسابية كما فعله ابن البناء في كتاب رفع الحجاب والله أعلم.
قال في: مدينة العلوم: علم الأرتماطيقي ويسمى علم العدد علم يتعرف منه أنواع العدد وأحوالها وكيفية تولد بعضها من بعض.
وموضوعه: الأعداد من جهة خواصها ولوازمها.
ومن الكتب المختصرة فيه سقط الزند في علم العدد.
ومن المتوسطة كتاب الأرتماطيقي من أبواب الشفاء.
ومن المبسوطة كتاب نيقوماخس والد أرسطو.
ومنفعة هذا العلم: ارتياض النفس بالنظر في المجردات عن المادة ولواحقها ولذلك كانت القدماء يقدمونه في التعليم على سائر العلوم حتى المنطق ولأنه مثال العالم في صدوره عن واجب مجرد خارج عنه كما أن الأعداد نشأت عن الواحد وليس بعدد انتهى1.
1 وقد نطم هذا المضمون السيد العلامة غلام علي آزادرح البلجرامي في كتابة مظهر البركات وقال تمثيل من تفردات الناظم.
علم الأوزان والموازين
وهذا العلم لضبط أثقال الأحجار في البناء وضبط أثقال الأحمال ومعرفة مقاديرها ومعرفة الآلات التي
توزن بها الأشياء من الميزان والقسطاس والصاع والكيل وأمثال ذلك وضبط هذه الأمور لا يتيسر إلا لمن له حظ في علم الهندسة كما لا يخفى.
علم التعابي العددية في الحروب
هو: علم يتعرف منه كيفية ترتيب العساكر في الحروب وكيفية تسوية صفوفها أزواجا وأفرادا وتعيين أعداد الصفوف وأعداد الرجال في كل صف منها وهيئة الصفوف: إما على التدوير أو التثليث أو التربيع
إلى غير ذلك حسبما تقتضيه الأحوال وبينوا أن في رعاية ترتيب المذكور ظفر بالمرام ونصرة على الأعداء ولا يكون مغلوبا أبدا بإذن الله - سبحانه وتعالى - إلا أن العلماء أخفوا هذا العلم وضنوا به عن الأغيار.
وللشيخ عبد الرحمن من السادة الحرفية تصنيف في هذا العلم لكن ضن بعض الضن إلا أن من وقف على أسرار الخواص الحرفية والعددية لا تخفى عليه خافية.
هذا ما ذكره أبو الخير وجعله من فروع علم العدد وذكر علم ترتيب العسكر من فروع الحكمة العملية كما مر. وفيه من الخلط والتكرار ولو بتغاير الاعتبار ما لا يخفى.
وعبارة: مدينة العلوم: هكذا قالوا أن للهيئات المخصوصة وخصوصيات الأعداد حسبما يقتضيه الحال تأثيرا عظيما في قهر العدو والغلبة على الخصم وهذا العلم مما اختص به سادات الحرفية وأرباب الكشف والشهود من الصوفية الواقفين على أسرار الآيات القرآنية.
ومن يخطب الحسناء من غير أهلها ... بعيد عليه أن يفوز بوصلها
والعلماء أخفوا هذا العلم ولم يبرزوه ولم يظهروه إلا لبعض من الكاملين من أرباب العفة والتقوى لما أن في إظهاره فسادا عظيما كما لا يخفى ومن أراد الوقوف على هذا العلم فعليه خدمة السادات الصوفية حتى يستأهل للمكاشفات القرآنية والأسرار الفرقانية وإلا فهو عن مثل هذا العلم بمعزل ومن الوصول إلى هذا المقصد بألف منزل ولله در الإمام الشافعي حيث قال:
كيف الوصول إلى سعاد ودونها ... قلل الجبال ودونهن حتوف
الرجل حافية ومالي مركب ... والكف صفر والطريق مخوف
ولعبد الرحمن الأنطاكي رسالة لطيفة في هذا العلم لكن ضن ببيان أسراره كل الضنة. انتهى.
علم الجبر والمقابلة
هو: من فروع علم الحساب لأنه: علم يعرف فيه كيفية استخراج مجهولات عديدية بمعادلتها المعلومات مخصوصة على وجه مخصوص.
ومعنى الجبر: زيادة قدر ما نقص من الجملة المعادلة بالاستثناء في الجملة الأخرى لتتعادلا.
ومعنى المقابلة: إسقاط الزائد من إحدى الجملتين للتعادل.
وبيانه: أنهم اصطلحوا على أن يجعلوا للمجهولات مراتب من نسبة تقتضي ذلك بطريق التضعيف بالضرب.
أولها: العدد لأنه به يتعين المطلوب المجهول باستخراجه من نسبة للمجهول إليه.
وثانيها: الشيء لأن كل مجهول فهو من حيث إبهامه: شيء وهو أيضا: جذر لما يلزم من تضعيفه في المرتبة الثانية.
وثالثها: المال وهو: مربع مبهم وما بعد ذلك فعلى نسبة الأس في المضروبين.
ثم يقع العمل للفروض في المسئلة فيخرج العمل المفروض إلى معادلة بين مختلفين أو أكثر من هذه الأجناس فيقابلون بعضها ببعض ويجبرون ما فيها من الكسر حتى يصير صحيحا ويحطون المراتب إلى أقل الأسوس إن أمكن حتى يؤول إلى الثلاثة التي عليها مدار الجبر عندهم وهي: العدد والشيء والمال.
توضحيه: أن كل عدد يضرب في تفسير يمسي بالنسبة إلى حاصل ضربه في نفسه شيئا في هذا العلم يفرض هناك كل مجهول يتصرف فيه شيئا أيضا ويسمى الحاصل من الضرب: بالقياس إلى العدد المذكور مالا في هذا العلم فإن كان في أحد المتعادلين من الأجناس استثناء كما في قولنا: عشرة الأشياء يعدل أربعة اشياء.
فالجبر: رفع الإسنثناء: بأن يزاد مثل المستثنى على المستثنى منه فيجعل العشرة كاملة كأنه يجبر نقصانها أو يزاد مثل المستثنى على عديله كزيادة الشيء في المثال بعد جبر العشرة على أربعة أشياء حتى تصير خمسة.
وإن كان في الطرفين أجناس متماثلة: فالمقابلة أن تنقص الأجناس من الطرفين بعدة واحدة
وقيل: هي تقابل بعض الأشياء ببعض على المساواة كما في المثال المذكور إذا قوبلت العشرة بالخمسة على المساواة.
وسمي العلم بهذين العملين: علم الجبر والمقابلة لكثرة وقعهما فيه.
قال ابن خلدون: فإن كانت المعادلة بين واحد وواحد تعين فالمال والجذر يزول إبهامه بمعادلة العدد ويتعين.
والمال وإن عادل الجذور يتعين بعدتها وإن كانت المعادلة بين واحد واثنين أخرجه العمل الهندسي من طريق تفضيل الصرف في الاثنين.
وأكثر ما انتهت المعادلة عندهم إلى ست مسائل لأن المعادلة بين عدد وجزر أي شيء ومال مفردة أو مركبة تجيء ستة.
ومنفعته: استعلام المجهولات العددية إذا كانت معلومة العوارض ورياضة الذهن.
وأول من كتب هذا الفن أبو عبد الله الخوارزمي وبعده أبو كامل شجاع بن أسلم وجاء الناس على أثره فيه وكتابه في مسائله الست من أحسن الكتب الموضوعة فيه وشرحه كثير من أهل الأندلس فأجادوا.
ومن أحسن شروحه كتاب: القرشي وقد بلغنا أن بعض أئمة التعاليم من أهل المشرق أنهى المعادلات إلى أكثر من هذه الستة الأجناس وبلغها إلى فوق العشرين واستخرج لها كلها أعمالا وأتبعه ببراهين
هندسية - والله يزيد في الخلق ما يشاء سبحانه وتعالى -. انتهى.
قال الشيخ عمر بن إبراهيم الخيامي: إن أحد المعاني التعليمية من الرياضي هو: الجبر والمقابلة وفيه ما يحتاج إلى أصناف من المقدمات معتاصة جدا متعذر حلها أما المتقدمون: فلم يصل إلينا منهم كلام فيها العلم لم يتفطنوا لها بعد الطلب والنظر أو لم يضطر البحث إلى النظر فيها ولم ينقل إلى لساننا كلامهم.
وأما المتأخرون: فقد عن لهم تحليل المقدمة استعملها أرخميدس في الرابعة من الثانية في الكرة والأسطوانة بالجبر فنادى إلى كتاب وأموال وأعداد متعادلة فلم يتفق له حلها بعد أن أنكر فيها مليا فجزم بأنه ممتنع حتى تبعه أبو جعفر الخازن وحلها بالقطوع المخروطية ثم افتقر بعده جماعة من المهندسين إلى عدة أصناف منها فبعضهم حل البعض. انتهى.
قال في: مدينة العلوم: ومن الكتب المختصرة فيه: نصاب الجبر لابن فلوس المارديني و: المفيد لابن المحلي الموصلي.
ومن المتوسطة: كتاب: الظفر للطوسي.
ومن المبسوطة: جامع الأصول لابن المحلي و: الكامل لأبي شجاع بن أسلم وبرهن السموك على مسائله بالبراهين العددية والهندسية و: أرجوزة ابن الياسمين و: شرحه مختصر نافع أورد فيه ما لا بد منه.
ومن الرسائل الوافية بالمقصود: رسالة شرف الدين محمد بن مسعود بن محمد المسعودي.
علم الحساب
هو علم بقواعد تعرف بها طرق استخراج المجهولات العددية من المعلومات العددية المخصوصة من الجمع والتفريق والتصنيف والتضعيف والضرب والقسمة.
والمراد بالاستخراج معرفة كمياتها.
وموضوعه العدد إذ يبحث فيه عن عوارضه الذاتية والعدد هو الكمية المتألفة من الوحدات فالوحدة مقومة للعدد وأما الواحد فليس بعدد ولا مقوم له وقد يقال لكل ما يقع تحت العد فيقع على الواحد وعبارة ابن خلدون هي صناعة عملية في حساب الأعداد بالضم والتفريق فالضم يكون في الأعداد بالإفراد هو الجمع وبالتضعيف وهو تضاعف عددا بآحاد عدد آخر وهذا هو الضرب والتفريق أيضا يكون في الأعداد.
أما بالإفراد مثل إزالة عدد من عدد ومعرفة الباقي وهو الطرح.
أو تفصيل عدد بأجزاء متساوية تكون عدتها محصلة وهو القسمة وسواء كان هذا الضم التفريق في الصحيح من العدد أو الكسر.
ومعنى الكسر نسبة عدد إلى عدد تلك النسبة تسمى كسر أو كذلك يكون بالضم والتفريق في الجذور ومعناها العدد الذي يضرب في مثله فيكون منه العدد المربع فإن تلك الجذور أيضا يدخلها الضم والتفريق.
وهذه الصناعة حادثة احتيج إليها للحساب في المعاملات انتهى.
ومنفعته ضبط المعاملات وحفظ الأموال وقضاء الديون وقسمة المواريث والتركات وضبط ارتفاعات المماليك وغير ذلك.
ويحتاج إليه في العلوم الفكلية وفي المساحة والطب وقيل يحتاج إليه في جميع العلوم بالجملة ولا يستغني عنه ملك ولا عالم ولا سوقة وزاد شرفا بقوله - سبحانه وتعالى -: {وَكَفَى بِنَا حَاسِبِينَ} وبقوله تعالى: {وَلِتَعْلَمُوا عَدَدَ السِّنِينَ وَالْحِسَابَ} وقوله تعالى: {فاسْأَلِ الْعَادِّينَ} ولذلك ألف فيه الناس كثيرا وتداولوه في الأمصار بالتعليم للولدان.
ومن أحسن التعليم عند الحكماء الابتداء به لأنه معارف متضحة وبراهينه منتظمة فينشأ عنه في الغالب عقل مضيء يدل على الصواب وقد يقال إن من أخذ نفسه بتعلم الحساب أول أمره يغلب عليه الصدق لما في الحساب من صحة المباني ومنافسة النفس فيصير له ذلك خلقا ويتعود الصدق ويلازمه مذهبا.
وهو مستغلق على المبتدئ إذا كان من طريق البرهان وهذا شأن علوم التعاليم لأن مسائلها وأعمالها واضحة وإذا قصد شرحها وهو التعليل في تلك الأعمال ظهر من العسر على الفهم مالا يوجد في أعمال المسائل.
وهو فرع علم العدد المسمى بالأرتماطيقي وله فروع أوردها صاحب مفتاح السعادة بعد أن جعل علم
العدد أصلا وعلم الحساب مرادفا له مع كونه فرعا حيث قال:
الشعبة الثامنة في فروع علم العدد وقد يسمى بعلم الحساب فعرفه بتعريف مغاير لتعريف علم العدد.
قال في مدينة العلوم ولعلم الحساب فروع.
منها علم حساب التخت والميل وهو علم يتعرف منه كيفية مزاولة الأعمال الحسابية برقوم تدل على الآحاد وتغني عما عداها بحفظ المراتب وتنسب هذه الأرقام إلى الهند انتهى.
وقال صاحب الكشف:
بل هو علم بصور الرقوم الدالة على الأعداد مطلقا ولكل طائفة أرقام دالة على الآحاد الأرقام الهندية والرومية والمغربية والإفرنجية والنجومية وغيرها ويقال له التخت والتراب أيضا انتهى
ونفع هذا العلم ظاهر ولابن الهيثم كتاب برهن فيه بمعرفة أصول أعماله ببراهين عددية لما فيسه من تسيهل الأعمال الحسابية.
ومن الكتب الشاملة فيه كتاب نصير الدين الطوسي وكتاب: البهائية وشرحه وكتاب المحمدية لعلي القوشجي وغير ذلك من الكتب التي لا تحصى.
ولأهل المغرب طرق ينفردون بها في الأعمال الجزئية من هذا العلم فمنها قريبة المآخذ لطرق ابن الياسين ومنها بعيدة كطرق الحضار كذا في المدينة.
ومنها علم الجبر والمقابلة وقد سبق في الجيم.
ومنها علم حساب الخطأين وهو قسم من مطلق الحساب وسيأتي في الخاء المعجمة وإنما جعل علما برأسه لتكثير الأنواع.
ومنها علم حساب النجوم وهو علم يبحث فيه عن كيفية حساب الأرقام الواقعة في الزيجات وهذا وإن كان من فروع علم العدد إلا أنه لما امتازت عن سائر علم الحساب بقواعد مخصوصة يعرفها أهلها وتوقف علم التقويم عليه جعلوه علما برأسه.
ومنها علم حساب الدور والوصايا وهو علم يتعرف منه مقدار ما يوصي به إذا تعلق بدور في بادئ النظر.
مثال: رجل وهب لعتقه في مرض موته مائة درهم لا مال له غيرها فقبضها ومات قبل موت سيده وخلف بنتا والسيد المذكور ثم مات السيد فظاهر المسئلة أن الهبة تمضي من المائة في ثلثها فإذا مات المعتق رجع إلى السيد نصف الجائز بالهبة فيزداد مال السيد من إرثه وهلم جراً.
وبهذا العلم يتعين مقدار الجائز بالهبة.
وظاهر أن منفعة هذا العلم جليلة وإن كانت الحاجة إليه قليلة ومن كتبه كتاب لأفضل الدين الخونجي.
أقول هذا العلم يؤول إلى علم الجبر والمقابلة وفيه تأليف لطيف لأبي حنيفة أحمد بن داود الدينوري المتوفى سنة إحدى وثمانين ومائتين وكتاب نافع لأحمد بن محمد الكرابيسي وكتاب مفيد لأبي كامل شجاع بن مسلم ذكر فيه كتاب الوصايا بالجذور للحجاج بن يوسف.
ومنها: علم حساب الدرهم والدينار وهي علم يتعرف منه كيفية استخراج المجهولات العددية التي تزيد عدتها على المعادلات الجبرية ولهذه الزيادة لقبوا تلك المجهولات بالدرهم والدينار والفلس وغير ذلك ومنفعته كمنفعة الجبر والمقابلة فيما يكثر فيه الأجناس المعادلة:
ومن الكتب المؤلفة فيه كتاب لابن فلوس إسماعيل بن إبراهيم بن غازي المارديني الحنبلي المتوفى سنة سبع وثلاثين وستمائة والرسالة المغربية والرسالة الشاملة للخرقي والكافي الكرخي. ومختصره للسمؤل بن يحيى بن عباس المغربي الإسرائيلي المتوفى سنة ست وسبعين وخمسمائة كذا في إرشاد القاصد وكتاب لابن المحلي الموصلي.
ومن المبسوطة فيه الكافي والكامل لأبي القاسم بن السمح.
ومنها علم حساب الفرائض وهو معرفة فروض الوراثة وتصحيح سهام الفريضة مما نصح باعتبار فروضها الأصول أو مناسختها وذلك إذا هلك أحد الورثة وانكسرت سهامه على فروض ورثته فإنه حينئذ يحتاج إلى حساب يصحح الفريضة الأولى حتى يصل أهل الفروض جميعا في الفريضتين إلى فروضهم من غير تجزية.
وقد تكون هذه المناسخات أكثر من واحد واثنين وتتعدد لذلك بعدد أكثر وبقدر ما تتعدد تحتاج إلى الحسبان.
وكذلك إذا كانت فريضة ذات وجهين مثل أن يقر بعض الورثة بوارث وينكره الآخر فتصحح على الوجهين حينئذ وينظر مبلغ السهام ثم تقسم التركة على نسب سهام الورثة من أصل الفريضة وكل ذلك يحتاج إلى الحسبان وكان غالبا فيه وجعلوه فناء مفردا وللناس فيه تآليف كثيرة.
أشهرها عند المالكية من متأخري الأندلس كتاب ابن ثابت ومختصر القاضي أبي القاسم الحوفي ثم الجعدي.
ومن متأخري إفريقية ابن النمر الطرابلسي وأمثالهم.
وأما الشافعية والحنفية والحنابلة فلهم فيه تآليف كثيرة وأعمال عظيمة صعبة شاهدة لهم باتساع الباع في الفقه والحساب
وقد يحتج الأكثر من أهل هذا الفن على فضله بالحديث المنقول عن أبي هريرة رضي الله عنه إن الفرائض ثلث العلم وإنها أول ما ينسى وفي رواية نصف العلم خرجه أبو نعيم الحافظ واحتج به أهل الفرائض بناء على أن المراد بالفرائض فروض الوراثة.
والذي يظهر أن هذا المحمل بعيد وأن المراد بالفرائض إنما هي الفرائض التكليفية في العبادات والعادات والمواريث وغيرها وبهذا المعنى يصحح فيها المنصفية والثلثية وأما فروض الوراثة فهي أقل من ذلك كله بالنسبة إلى علم الشريعة كلها أو يعين هذا المراد أن حمل اللفظ للفرائض على هذا الفن المخصوص أو تخصيصه بفروض الوراثة إنما لهو صلاح ناشئ للفقهاء عند حدوث الفنون 2 / 243 والاصطلاحات ولم يكن صدر الإسلام يطلق على هذا الأعلى عموم مشتقا من الفرض الذي هو لغة التقدير أو القطع وما كان المراد به في إطلاقه إلا جميع الفروض كما قلناه وهي حقيقته الشرعية فلا ينبغي أن يحمل إلا على ما كان يحمل في عصرهم والله - سبحانه وتعالى - أعلم وبه التوفيق انتهى كلام ابن خلدون ملخصا.
ومنها علم حساب الهواء وهو علم يتعرف منه كيفية حساب الأموال العظيمة في الخيال بلا كتابة ولها طرق وقوانين مذكورة في بعض الكتب الحسابية وهذا العلم عظيم النفع للتجار في الأسفار وأهل السوق من العوام الذين لا يعرفون الكتابة وللخواص إذا عجزوا عن إحضار آلات الكتابة.
ومنها علم حساب العقود أي عقود الأصابع وقد وضعوا كلا منها بإزاء عدد مخصوص ثم رتبوا الأوضاع الأصابع آحادا وعشرات ومئات وألوفا ووضعوا قواعد يتعرف بها حساب الألوف فما فوقها بيد واحدة.
وهذا عظيم النفع للتجار سيما عند استعجام كل من المتبايعين لسان الأخر عند فقد آلات الكتابة والعصمة عن الخطأ في هذا العلم أكثر من حساب الهواء.
وكان هذا العلم يستعمله الصحابة رضي الله عنهم كما وقع في الحديث في كيفية وضع اليد على الفخذ.
ومنه في التشهد أنه عقد خمسا وخمسين وأراد بذلك هيئة وضع الأصابع لأن هيئة عقد خمس وخمسين في علم العقود هي عقد أصابع اليد غير السبابة والإبهام وتحليق الإبهام معها وهذا الشكل في العلم المذكور دال على العدد المرقوم فالراوي ذكر المدلول وأراد الدال.
وهذا دليل على شيوع هذا العلم عندهم والمراد بالعقود في تمثيل الدلالة غير اللفظية الوضعية هي عقود الأصابع حيث مثلوها بالخطوط والعقود والإشارات والنصب وفي هذا العلم أرجوزة لابن الحرب أورد فيها مقدار الحاجة ورسالة لشرف الدين اليزدي أورد فيها قدر الكفاية.
ومنها علم إعداد الوفق وتقدم في الألف.
ومنها علم خواص الأعداد المتحابة والمتباغضة وسيأتي في الخاء.
ومنها علم التعابي العددية وقد سبق في التاء وهذه الثلاثة من فروع علم العدد من حيث الحساب ومن فروع الخواص من جهة أخرى ولذلك أوردناها إجمالا كما أوردها صاحب مفتاح السعادة ومدينة العلوم وأما علم حساب النجوم فهو علم يتعرف منه قوانين حساب الدرج والدقائق والثواني والثوالث بالضرب والقسمة والتجذير والتفريق ومرابتها في الصعود والنزول وتقدم وفيه كتب مفردة غير ما بين في مبسوطات الكتب الحسابية وأما المصنفات في علم الحساب مطلقا فكثيرة ذكرها صاحب كشف الظنون على ترتيب الكتاب إجمالا لا نطول بذكرها.
علم الخطأين
من فروع علم الحساب وهو علم يتعرف منه استخراج المجهولات العددية إذا أمكن صيرورتها في أربعة أعداد متناسبة ومنفعته: نحو منفعة الجبر والمقابلة إلا أنه أقل عموما منه وأسهل عملاً.
وإنما سمي به: لأنه يفرض المطلوب شيئا ويختبر وإن وافق فذاك وإلا حفظ ذلك الخطأ وفرض المطلوب شيئا آخر ويختبر فإن وافق فذاك وإلا حفظ الثاني ويستخرج المطلوب منهما ومن المقدارين المفروضين.
وعلى هذا فإذا اتفق وقوع المسألة أولا في أربعة أعداد متناسبة أمكن استخراجها بخطأ واحدا ومن الكتب الكافية فيه كتاب لزين الدين المغربي وبرهن عليه ابن علي الحسن بن الحسن بن الهيثم الفيلسوف المتوفى سنة ثلاثين وأربعمائة على طرق.
علم العدد
هكذا في كشف الظنون ويسمى الأرتماطيقي وقد تقدم في باب الألف من أول الكتاب وقال في كشاف اصطلاحات الفنون: علم العدد هو من أصول الرياضي ويسمى بعلم الحساب أيضا وهو نوعان:
نظري: وهو علم يبحث فيه من ثبوت الأعراض الذاتية للعدد وسلبها عنه وهو المسمى بالأرتماطيقي وتشتمل عليه المقالات الثلاث السابعة والثامنة والتاسعة من كتاب الأصول وموضوعه العدد مطلقاً.
وعملي: وهو علم يعرف به طرق استخراج المجهولات العددية من المعلومات العددية والمراد بها مجهولات لها نسبة إلى العدد نسبة الجزئي إلى الكلي وكذا الحال في المعلومات العددية مثلا: في الضرب المضروب والمضروب فيه معلومان ومنهما يستخرج الحاصل الذي هو عدد مجهول بالطريق المعين وكذا في سائر الأعمال.
فهو علم تعرف به الطرق التي يستخرج بها عدد مجهول من عدد معلوم وقيد من المعلومات العددية احتراز عما إذا استخرج المجهول العددي بغير علم الحساب كاستخراج عدد الدراهم من علم الرمل ولا يخرج عنه علم المساحة لأنها علم بطرق استخراج المجهولات المقدارية من حيث عروض العدد لها فيؤول إلى المجهولات العددية عند التأمل.
ثم اعلم أن الحساب العملي نوعان أحدهما هوائي تستخرج منه المجهولات العددية بلا استعمال الجوارح كالقواعد المذكورة في كتاب البهائية.
ثانيهما: غير هوائي وهو المسمى بالتخت والتراب يحتاج إلى استعمال الجوارح كالشبكة وضرب المحاذاة.
ثم النظري والعملي ههنا بمعنى ما لا يتعلق بكيفية العمل وما يتعلق بها فتسميه النوع الأول بالنظري ظاهرة وكذا تسمية القسم الثاني من النوع الثاني بالعملي.
وأما تسمية القسم الأول منه بالعملي فعلى تشبيه الحركات الفكرية بالحركات الصادرة عن الجوارح أو يقال المراد بالعمل في تعريفي النظري والعملي أعم من العمل الذهني والخارجي
ثم اعلم أن لاستخراج المجهولات العددية من معلوماتها طرقا مختلفة وهي إما محتاجة إلى فرض المجهول شيئا وهو الجبر والمقابلة وإما غير محتاجة إليه وهو علم المفتوحات وهي كمقدمات الحساب التي سوى المساحة أو مما يحصل ببعض من تلك المقدمات واستعانة بعض القوانين من النسبة وهو شامل أسئلة الخطأين أيضاًظ.
وموضوعه العدد مطلقا كما هو المشهور.
والتحقيق أن موضوعه العدد المعلوم تتعقل عوارضه، من حيث أنه كيف يمكن التأدي منه إلى بعض
عوارضه المجهولة. وأما العدد المطلق فإنما هو موضوع علم الحساب النظري هذا كله خلاصة ما في شرح خلاصة الحساب والله أعلم بالصواب.
علم المعاملات
من فروع علم الحساب وهو تصريف الحساب في معاملات المدن في البياعات والمساحات والزكوات وسائر ما يعرض فيه العدد من المعاملات يصرف في ذلك صناعتا الحساب في المجهول والمعلوم والكسر والصحيح والجذور وغيرها.
والغرض من تكثير المسائل المفروضة فيها حصول المران والدربة بتكرار العمل حتى ترسخ الملكة في صناعة الحساب ولأهل الصناعة الحسابية من أهل الأندلس تآليف فيها متعددة من أشهرها: معاملات الزهراوي وابن السمح وأبي مسلم بن خلدون من تلاميذ مسلمة المجريطي وأمثالهم.
علم المقادير والأوزان
المستعملة في علم الطب من الدراهم والأوقية والرطل وغير ذلك ولقد صنف له كتب مطولة ومختصرة يعرفها مزاولها وقد تقدم في باب الألف.
The Science of Arithmetic (Arithmetica)
This science investigates the properties of number in composition, whether by succession or doubling. Thus, when numbers proceed with a constant difference of one, the sum of the two end terms equals the sum of any two terms equally distant from the ends. When the middle terms are doubled, the number of terms is odd; this applies likewise to successive odd and even numbers. When numbers proceed in a constant ratio—such as the first being half the second and the second half the third—the product of the two end terms equals the product of any two terms equally distant from the ends. When the square of the middle terms is taken, the number of terms is odd.
The science also studies the numerical properties arising from triangular, square, pentagonal, and hexagonal arrays. Numbers are placed successively in rows; summing from one to the last number produces triangular numbers, and successive additions produce squares, pentagons, and further figures. A table is thereby formed with length and breadth: across it lie the successive numbers, then the successive triangles, squares, pentagons, and so forth; down it lie each number and all its figures. Their division and arrangement produce remarkable properties, including the special properties of even, odd, even-even, and odd-odd numbers. This art alone contains them.
This is the first and most certain of the mathematical sciences, and it enters into the demonstrations of arithmetic. Ancient and later philosophers composed works on it, most often treating it within the mathematical sciences rather than separately, as Ibn Seenaa did in the Healing and the Salvation. In later times it was neglected because it was no longer practiced; its useful substance had already been extracted for arithmetical demonstrations, as Ibn al-Bannaa did in Raising the Veil. God knows best.
The City of the Sciences says: “Arithmetic, also called the science of number, is the science by which one learns the kinds and states of number and how some numbers arise from others.” Its subject is numbers with respect to their properties and concomitants. A concise work is the Falling of the Spark in the Science of Number; an intermediate work is the Arithmetica in the mathematical books of the Healing; and an extensive work is the book of Nicomachus, the father of Aristotle.
Its benefit is the soul's exercise in considering abstractions from matter and their concomitants. The ancients therefore placed it before all other sciences, even logic, in instruction, since it is an image of the world's emanation from a transcendent Necessary Being, just as numbers arise from the One, which is not itself a number. [Edition footnote 1] The distinguished Sayyid Ghulaam 'Alee Aazaad Bilgraamee versified this idea in Manifestation of Blessings.
[Edition footnote 1] He identified this as one of the poet's distinctive comparisons.
The Science of Weights and Measures
This science establishes the weights of stones used in building, the weights and quantities of loads, and the instruments by which things are weighed, such as the balance, steelyard, dry measure, liquid measure, and similar instruments. Proper control of these matters is possible only for one who has some knowledge of geometry.
The Science of Numerical Battle Formations
It is the science by which one learns how to arrange armies in war, how to align them in pairs and singly, the number of ranks, the number of men in each rank, and the form of the ranks—circular, triangular, square, or otherwise, according to circumstances. Its authors held that observing this arrangement brings victory and triumph over enemies, and that one will not be defeated, by God's permission. Scholars concealed this science and kept it from outsiders.
'Abd al-Rahmaan of the harfee masters composed a work on it, though he was extremely reticent about its secrets. One who knows the occult properties of letters and numbers, however, will not be unaware of its principles. Aboo al-Khayr listed it among the branches of the science of number; elsewhere the science of arranging armies was listed among the branches of practical wisdom. The classifications overlap and repeat one another when viewed from different perspectives.
The City of the Sciences says that particular configurations and numerical properties, according to the circumstances, have a powerful effect in overcoming an enemy and prevailing over an opponent. This science was held especially by the masters of letters and the Sufis endowed with unveiling and direct witnessing, who knew the secrets of Qur'aanic verses.
“Whoever seeks the beautiful woman from those unfit for her—
Far from him is the hope of attaining union with her.”
The scholars concealed this science and disclosed it only to some perfected people known for chastity and piety, because publicizing it would cause great corruption. 'Abd al-Rahmaan al-Antaakee wrote a fine treatise on it but was extremely sparing in explaining its secrets. [Poetry: close rendering.]
The Science of Algebra and Restoration
It is a branch of arithmetic: the science by which numerical unknowns are extracted by equating them with known quantities in a specified manner. Restoration means adding to one equation the amount missing from it by subtraction so that the two equations become equal. Comparison means removing the excess from one equation so that equality is achieved.
The unknowns are assigned ranks according to ratios generated by multiplication. The first is number; the second is “thing,” since every unknown is a thing insofar as it is unspecified and is also a root whose square occupies the next rank; the third is “property,” meaning an unspecified square. Higher ranks follow the exponent of the multiplied quantities. The operation reduces the equations, where possible, to the three ranks on which algebra rests: number, thing, and property.
For example, if ten things equal four things, restoration removes the subtraction by adding the same amount, making the ten complete; comparison then removes equal kinds from the two sides. The science is named after these two operations because they occur in it so frequently.
Ibn Khaldoon said that an equation between one thing and one thing determines the property and the root; a property equal to roots is determined by their number; and an equation between one and two is resolved geometrically through the method of completing the square. Their equations generally reduce to six cases, since equations between number, root, and property may be single or compound.
Its benefit is discovering numerical unknowns when their concomitants are known, and exercising the mind. The first author of this art was Aboo 'Abd Allaah al-Khwaarizmee, followed by Aboo Kaamil Shujaa' ibn Aslam. His book on the six problems is among the best works composed on it, and Andalusian scholars wrote excellent commentaries. Among the best is the work of al-Qurashee. Some eastern mathematicians expanded the equations to more than six kinds—over twenty—and supplied operations and geometrical proofs for all of them. God increases creation as He wills.
'Umar ibn Ibraaheem al-Khayyaamee said that algebra and restoration require extremely difficult preliminary propositions. The ancients' discussions have not reached us, perhaps because they did not discover them or did not need to investigate them. Later scholars analyzed a proposition used by Archimedes in his work on the sphere and cylinder through algebra. Aboo Ja'far al-Khaazin later solved it by conic sections, after which several geometers required related classes of propositions and solved some of them.
The City of the Sciences lists concise works by Ibn Faaloos al-Mardeenee and Ibn Mahallee al-Mawsilee; an intermediate work, The Victory by al-Toosee; and extensive works by Ibn Mahallee and Aboo Shujaa' ibn Aslam, together with the versification of Ibn al-Yaasameen and its useful commentary. A sufficient epistle is that of Sharaf al-Deen Muhammad ibn Mas'ood al-Mas'oodee.
The Science of Calculation
It is the science of rules by which numerical unknowns are extracted from specified numerical data through addition, subtraction, reduction, doubling, multiplication, and division. Extraction means determining their quantities.
Its subject is number and its essential accidents. Number is a quantity composed of units; the unit constitutes number, whereas the one is not a number. It is also said to denote anything subject to counting, including one. Ibn Khaldoon calls it a practical art for calculating numbers by combining and separating: combining by adding units, or by multiplying a number by the units of another; separating by removing one number from another, which is subtraction, or dividing a number into equal parts, which is division. These operations apply to whole numbers, fractions, and roots.
This art arose because transactions required calculation. Its benefits include regulating exchanges, preserving wealth, settling debts, dividing inheritances and estates, and recording revenues. It is needed in astronomy, surveying, medicine, and, according to some, every science in general. Neither ruler, scholar, nor ordinary person can dispense with it. Its dignity is increased by the divine words, “And sufficient are We as Reckoners,” “that you may know the number of years and the reckoning,” and “Ask those who count.” People therefore composed many works on it and taught it to children throughout the provinces.
The philosophers considered it excellent instruction to begin with, because its concepts are clear and its demonstrations orderly. It generally produces an illuminated intellect directed toward what is correct. It is said that one who begins by learning calculation tends toward truthfulness, because calculation depends on sound premises and self-discipline; this becomes a habit and a settled way of life.
For a beginner it is difficult when approached by demonstration. This is characteristic of the mathematical sciences: their problems and operations are clear, but explaining the reasons underlying those operations is harder to understand than performing them.
It is a branch of arithmetic, also called the science of number. Its branches include calculation with the board and dust, algebra and restoration, calculation by the two errors, astronomical calculation, calculation of cycles and bequests, calculation of dirhams and dinars, calculation of inheritance shares, mental calculation, finger calculation, the preparation of numerical talismans, and the study of amicable and hostile numbers. These subjects are placed in their respective alphabetical entries.
Calculation with the board and dust teaches the use of numerals that denote units while preserving place values; these numerals are attributed to India. It is also the science of the forms of numerals denoting numbers generally: Indian, Roman, Maghribee, Frankish, astronomical, and other systems. Ibn al-Haytham wrote a book proving the principles of its operations by numerical demonstrations. Numerous comprehensive works exist, including those of Naseer al-Deen al-Toosee, al-Bahaa'ee and its commentary, and 'Alee al-Qooshjee's Muhammadiyya.
Astronomical calculation concerns the rules for calculating degrees, minutes, seconds, and thirds by multiplication, division, extraction of roots, and separation, and for arranging them in ascending and descending order. It has separate books in addition to the extensive works on calculation.
Calculation of cycles and bequests determines what may be bequeathed when the matter initially appears to involve a cycle of ownership. Through it the amount validly granted as a gift is determined. Its benefit is great, though the need for it is limited. Calculation of inheritance shares determines the fixed shares of heirs and corrects the shares when one inheritance is succeeded by another. It can involve several successive inheritances and therefore requires correspondingly extended calculation.
The Science of the Two Errors
It is a branch of calculation by which numerical unknowns are extracted when they can be arranged as four proportionate numbers. Its benefit resembles that of algebra and restoration, though it is less general and easier to perform. It is so called because the unknown is first assumed to have one value and tested; if it is wrong, the error is retained, another value is assumed and tested, and the unknown is extracted from the two errors and the two assumed quantities. Zayn al-Deen al-Maghribee wrote a sufficient work on it, and Ibn al-Haytham demonstrated it by several methods.
The Science of Number
This is also called arithmetic and was discussed at the beginning of the book. The Glossary of Technical Terms of the Sciences divides it into theoretical and practical forms. The theoretical studies the essential accidents affirmed or denied of number; the practical teaches how to extract numerical unknowns from numerical data. Calculation with the board and dust is practical because it uses bodily instruments, whereas mental calculation is performed without them. These terms distinguish what concerns the manner of operation from what does not.
The subject is number generally, according to the common view. More precisely, it is known number insofar as its accidents can be understood and one can proceed from it to an unknown accident; absolute number is the subject of theoretical arithmetic. This is the substance of the commentary on the Summary of Calculation.
The Science of Transactions
It is a branch of calculation concerned with applying arithmetic to the transactions of cities: sales, surveying, almsgiving, and every transaction in which number occurs. It uses the operations of calculation with unknowns and knowns, fractions and wholes, roots, and related quantities. The multiplication of exercises trains practitioners through repeated work until mastery becomes firmly established. Andalusian calculators composed several works on it, including the transactions of al-Zahraawee, Ibn al-Samh, Aboo Muslim ibn Khaldoon, and others.
The Science of Quantities and Weights
This concerns the quantities used in medicine, such as the dirham, ounce, pound, and other measures. Practitioners know its extensive and concise books. It was discussed earlier under the letter alif.